Jawaban Latihan 1.3 Bab 1 Matriks MTK Kelas 12 Halaman 30

Bab 1 Matriks
Latihan 1.3
Halaman 30
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13

1. Hitunglah determinan matriks berikut.
a. A= [-2 5] b. B [4 0 7]
[4 0] [5 1 2]
[0 3 2]
Jawab:

___________________________________________________

2. Buatlah matrik ordo 2×2 yang mempunyai determinan 8.
Jawab:
Contoh 1
$A = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&10\\\end{array}\right]$
Bukti: | A | = (1)(10) - (2)(1) = 8

Contoh 2
$B = \left[\begin{array}{ccc}-3&5\\-4&4\\\end{array}\right]$
Bukti: | B | = (-3)(4) - (5)(-4) = -12 + 20 = 8

Contoh 3
$C = \left[\begin{array}{ccc}3&-\frac{1}{2}\\12&\frac{2}{3}\\\end{array}\right]$
Bukti: $|A| = (3)(\frac{2}{3} ) - (-\frac{1}{2} )(12) = 2 + 6 = 8$

Contoh 4
$D = \left[\begin{array}{ccc}1,5&-1\\-4&8\\\end{array}\right]$
Bukti: | D | = (1,5)(8) - (-1)(-4) = 12 - 4 = 8

Contoh-5
$E = \left[\begin{array}{ccc}-1\frac{2}{3}&-3\\3&0,6\\\end{array}\right]$
Bukti: $|E| = (-\frac{5}{3} )(0,6) - (-3)(3) = -1 + 9 = 8$
___________________________________________________

3. Tentukan semua nilai p sehingga det(A) = 0
a. A = [-5 p+4] b. [p-2 4 0]
[p+2 1] [2 p 0]
[0 0 p-3]
Jawab:
a.
$$\begin{align}\left|\begin{array}{ccc}5&p+4\\p-2&1\end{array}\right|&=0 \\ (5)(1)-(p-2)(p+4)&=0 \\ 5-(p^2+2p-8)&=0 \\ 5-p^2-2p+8&=0 \\ -p^2-2p+13&=0 \\ p^2+2p-13&=0 \\ (p^2+2p+1)-14&=0 \\ (p+1)^2-14&=0 \\ (p+1)^2&=14 \\ p+1&=\pm\sqrt{14} \\ p&=-1\pm\sqrt{14} \end{align}$

b.
$$\begin{align}\left|\begin{array}{ccc}p-2&4&0\\2&p&0 \\ 0&0&p-3\end{array}\right|&=0 \\ (p-2)p(p-3)+0+0-(0+0+(p-3).2.4)&=0 \\ (p-2)p(p-3)-8(p-3)&=0 \\ (p^2-2p)(p-3)-8(p-3)&=0 \\ (p^2-2p-8)(p-3)&=0 \\ (p+2)(p-4)(p-3)&=0 \end{align}$
Didapat:
p = -2
p = 3
p = 4
___________________________________________________

4. Diketahui matriks A= (1 2) (3 4), |B|=-2, dan C=(3 1) (5 p). Jika AB=C tentukanlah nilai dari p kuadrat - 2p + 1
Jawab:
Coba diinvers:
$$\begin{align}B&=A^{-1}C \\ B&=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&p\end{array}\right] \\ B&=\frac{1}{4-6}\left[\begin{array}{cc}4&-2\\-3&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&p\end{array}\right] \\ B&=-\frac12\left[\begin{array}{cc}12-10&4-2p\\-9+5&-3+p\end{array}\right] \\ B&=-\frac12\left[\begin{array}{cc}2&4-2p\\-4&-3+p\end{array}\right] \\ B&=\left[\begin{array}{cc}-1&p-2\\2&\frac12(3-p)\end{array}\right]\end{align}$

Dengan determinannya yang sama dengan -2.
$$\begin{align}|B|&=-2 \\ -1.\frac12(3-p)-(p-2)(2)&=-2 \\ -\frac12(3-p)-2p+4&=-2 \\ -\frac32+\frac p2-2p+4&=-2 \\ \left[\frac12-2\right]p+\left[4-\frac32+2\right]&=0 \\ -\frac32p+\frac92&=0 \\ \frac32p&=\frac92 \\ 3p&=9 \\ p&=3 \end{align}$

Sehingga:
$$\begin{align}p^2-2p+1&=3^2-2(3)+1 \\ &=9-6+1 \\ &=4\end{align}$
___________________________________________________

5. Matriks A adalah matriks 2×2. Matriks B adalah matriks yang diperoleh dengan menukarkan baris pertama dengan baris kedua pada matriks A. Apa hubungan antara det(A) dan det(B)? Jelaskan.
Jawab:
Misalkan matriks A adalah
$\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$
det A
$=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|$
⇔ det A = ad - bc

Matriks B diperoleh dengan menukarkan baris pertama dengan baris kedua, diperoleh
$\left[{\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}\right]$
det B
$= \left|\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}\right|$
⇔ det B = bc - ad

Kedua persamaan kita tulis, diperoleh
ad - bc = -(bc - ad)
det A = -det B.

Jadi, hubungan antara determinan A dengan determinan B adalah det A lawan dari det B.
___________________________________________________

6. Carilah semua x yang memenuhi (x 0) (1 1-x) = (1 0 -2) (2 x -3) (1 3 x-2)
Jawab:

___________________________________________________

7. Apa yang dapat Anda katakan mengenai determinan matriks 2×2 dan 3×3 yang semua elemenya adalah bilangan 1? Jelaskan alasan Anda.
Jawab:
Kita tentukan determinan dari matriks berordo 2 x 2 dengan semua elemen/unsur adalah 1
$\left|\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right|=(a)(b)-(c)(d)$

$\left|\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\\\end{array}\right|=(1)(1) - (1)(1) = 0$
Berikutnya kita tentukan juga determinan dari matriks berordo 3 x 3 dengan semua elemen/unsur adalah 1. Di sini kita memilih untuk menggunakan metode ekspansi kofaktor baris pertama.
$\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|=+a \left|\begin{array}{ccc}e&f\\h&i\\\end{array}\right| -b \left[\begin{array}{ccc}d&f\\g&i\\\end{array}\right] +c \left[\begin{array}{ccc}d&e\\g&h\\\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right|=+1. \left|\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\\\end{array}\right|-1. \left|\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\\\end{array}\right|+1. \left|\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\\\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right|$ =1.[(1)(1) - (1)(1)] - 1.[(1)(1) - (1)(1)] + 1.[(1)(1) - (1)(1)]=0

Kesimpulan:
Matriks berordo 2 x 2 dan 3 x 3 yang semua elemennya adalah bilangan 1 memiliki nilai determinan sama dengan nol.
___________________________________________________

8. Mengapa determinan dari matriks 3 × 3 dengan salah satu baris yang semua elemennya nol adalah nol? Beri penjelasan.
Jawab:
Membuktikan determinan dari matriks 3 x 3 dengan salah satu baris yang semua elemennya nol adalah nol.

Misal kita pilih elemen baris ketiga adalah nol semua sedangkan elemen lainnya adalah angka sembarang.
$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\0&0&0\end{array}\right|=+1. \left|\begin{array}{ccc}5&6\\0&0\\\end{array}\right|-2. \left|\begin{array}{ccc}4&6\\0&0\\\end{array}\right|+3. \left|\begin{array}{ccc}4&5\\0&0\\\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\0&0&0\end{array}\right|$ =1.[(5)(0) - (6)(0)] - 2.[(4)(0) - (6)(0)] + 3.[4)(0) - (5)(0)]=0

Terbukti bahwa matriks 3 x 3 dengan salah satu baris yang semua elemennya nol memiliki deteriminan sama dengan nol.
___________________________________________________

9. Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai determinan matriks 2×2 dan 3×3 yang mempunyai dua baris dengan elemen yang sama.
Jawab:
Jika matrik (2x2) dan (3x3) mempunyai dua baris dengan elemen yang sama

akan menghasilkan determinan = 0
Lebih jelas klik LINK >> Penjelasan
___________________________________________________

10. Tunjukkan bahwa |(1 1 1) (a b c) ((a^2) (b^2) (c^2)| = (b-a)(c-a)(c-b) (Howard Anton)
Jawab:

___________________________________________________

Jawaban Latihan 1.3 Bab 1 Matriks MTK Kelas 12 Halaman 30

Related Posts