Latihan 2.2
Halaman 122
Matematika (MTK)
Kelas 12 (XII) SMA/SMK/MAK
Semester 2 K13
1. Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri.
a. Apakah masalah ini termasuk masalah pertumbuhan atau peluruhan?
b. Tentukan banyak bakteri setelah 10 jam.
c. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam.
d. Tentukan banyak bakteri setelah n jam.
Jawab:
A = banyak bakteri
= 1000
r = rasio pembelahan
= 2
⇒ jawaban soal A
n = 10 jam/2 jam
= 5
Un = a x r ⁿ
U₅ = 1000 x 2⁵
= 1000 x 32
= 32.000
⇒ jawaban soal B
n = 20 jam / 2 jam
= 10
Un = a x r ⁿ
U₁₀ = 1000 x 2¹⁰
= 1000 x 1024
= 1.024.000
⇒ jawaban soal C
n = n
Un = a x r ⁿ
= 1000 x 2ⁿ
= 5³ x 2³ x 2ⁿ
= 5³ x 2³ ⁺ ⁿ
_________________________________
2. Berdasarkan hasil sensus pada tahun 2010, banyak penduduk di suatu kota berbanyak 200.000 orang. Banyak penduduk ini setiap tahun meningkat 10% dari banyak penduduk tahun sebelumnya.
a. Apakah masalah ini termasuk masalah pertumbuhan atau peluruhan?
b. Tentukan banyak penduduk pada tahun 2015.
c. Tentukan banyak penduduk pada tahun ke-n.
d. Prediksi banyak penduduk pada tahun 2020.
Jawab:
_________________________________
3. Pada pemeriksaan kedua dokter mendiagnosa bahwa masih ada 800.000 bakteri yang menginfeksi telinga seorang bayi. Untuk mempercepat proses penyembuhan, dokter meningkatkan dosis penisilin yang dapat membunuh 10% bakteri setiap 6 jam.
a. Apakah masalah ini termasuk masalah pertumbuhan atau peluruhan?
b. Tentukan banyak bakteri setelah 24 jam dan setelah 72 jam.
c. Tentukan banyak bakteri setelah n jam.
Jawab:
_________________________________
4. Pada tahun 2014, Pak Abu membeli sebidang tanah seluas 300 m2 seharga Rp300.000.000. Seiring berjalannya waktu harga tanah terus naik 30% setiap tahun.
a. Apakah masalah ini termasuk masalah pertumbuhan atau peluruhan?
b. Tentukan harga tanah pada tahun 2020.
c. Tentukan harga tanah pada tahun ke-n.
Jawab:
A) Karena harga tanah setiap tahunnya terus naik, maka permasalahan di atas termasuk ke dalam masalah pertumbuhan.
B) Misalkan harga tanah mula-mula = T₀ Kenaikan harga tanah per tahun = 30%
Pola kenaikan harga tanah pada tahun ke-n mengikuti:
Tn = (1 + 30%)ⁿ × T₀ = (1 + 0,3)ⁿ × T₀ = (1,3)ⁿ × T₀
Tahun 2020 adalah tahun ke-6 dari tahun 2014, maka
T₆ = (1,3)⁶ × T₀
= 4,826809 × 300.000.000
= 1.448.042.700
Jadi, harga tanah pada tahun 2020 adalah Rp 1.448.042.700.
C) Harga tanah pada tahun ke-n =
Tn = (1,3)ⁿ × 300.000.000
_________________________________
5. Sebuah unsur radioaktif semula berukuran 80 gram. Setelah 48 jam, ukuran menjadi 72 gram. Demikian pula, 48 jam kedua menjadi 64,8 gram.
a. Berapakah persen kenaikan setiap 48 jam?
b. Berapa ukuran radioaktif setelah 5 × 48 jam?
Jawab:
a. Diketahui M₀ = 80, M₁ = 72, M₂ = 64,8
Mn = M₀ x (1 - i)ⁿ
M₂ = 80 x (1 - i)²
⇔ 64,8 = 80 x (1 - i)²
⇔
⇔ 0,81 = (1 - i)²
⇔ 0,9² = (1 - i)²
⇔ 1 - i = 0,9
⇔ i = 1 - 0,9
⇔ i = 0,1
⇔ i = 0,1 x 100%
⇔ i = 10%
Jadi, 10% kenaikan setiap 48 jam.
Jika Mn = 80 x (1 - 0,1)ⁿ, maka
M₅ = 80 x (1 - 0,1)⁵
⇔ M₅ = 80 x (0,9)⁵
⇔ M₅ = 80 x 0,59049
⇔ M₅ = 47,2392
Jadi, ukuran radioaktif setelah 5 x 48 jam adalah 47,2392 gram.
_________________________________
Pengayaan
1. Suatu koloni bakteri pada awalnya (t = 0) memiliki 300 sel dan jumlahnya bertambah menjadi 3 kali lipat setiap 4 jam.
a Berapakah jumlah bakteri setelah 16 jam?
b. Berapakah jumlah bakteri setelah 24 jam?
c. Tentukan rumus umum jumlah bakteri setelah t jam.
Jawab:
A.
B. Jumlah bakteri setelah 24 jam adalah 218.700 sel
C. Rumus bakteri Un = 900 x 3^t-1
Perhitungan terlampir
_________________________________
2. Suatu jenis bakteri diamati perkembangannya setiap jam. Ternyata banyaknya bakteri tiap jam bertambah dan membentuk barisan geometri. Tentukan syaratnya sehingga banyaknya bakteri pada jam kelima lebih banyak daripada banyaknya bakteri pada jam ketiga tetapi lebih sedikit daripada banyaknya bakteri pada jam ketujuh.
Jawab:
Misalkan jumlah bakteri pada tiap jam diwakili
oleh Ui.
U1, U2, U3, … membentuk suatu deret
geometri
Berarti banyaknya jumlah bakteri pada tiap jam dapat dinyatakan sebagai
Ui = a rⁿ⁻¹, dengan a = U1 adalah jumlah bakteri mula-mula, dan r adalah rasio
penambahan jumlah bakteri.
Agar U3 < U5 < U7, maka
ar² < ar⁴ < ar⁶
↔ 1 < r²
↔ r < -1 atau r > 1
↔ |r| > 1
Jadi, agar memenuhi jumlah bakteri pada jam kelima lebih banyak dari jumlah
bakteri pada jam ketiga, tetapi lebih sedikit daripada jumlah bakteri pada jam
ketujuh maka nilai rasio deret tersebut harus memenuhi |r| > 1
_________________________________
3. Suatu populasi bertambah menjadi 2 kali lipat setelah d satuan waktu. Jika banyaknya populasi pada saat ini t = 0 adalah p0, maka buktikan bahwa banyaknya populasi setelah n kali d satuan waktu ádalah 2n p0
Jawab:
Pada t = 0, jumlah populasi = P₀
Pada t = d, jumlah populasi = 2 × P₀ = 2¹P₀
Pada t = 2d, jumlah populasi = 2 × 2¹P₀ = 2²P₀
Pada t = 3d, jumlah populasi = 2 × 2²P₀ = 2³P₀
Pada t = 4d, jumlah populasi = 2 × 2³P₀ = 2⁴P₀
dst.
Jika pola di atas diteruskan, maka untuk
t = n × d = nd, jumlah populasi = 2 × 2ⁿ⁻¹P₀ = 2ⁿP₀
_________________________________
4. Di suatu desa ada seorang kaya yang tamak sehingga disebut Pak Tamak. Di desa tersebut juga ada seorang yang cerdik sehingga disebut Pak Cerdik. Pada suatu hari Pak Cerdik bertemu dengan Pak Tamak. Pak Cerdik memberikan tawaran kepada Pak Tamak sebagai berikut : “Pak Tamak, saya akan memberikan uang kepada Bapak sebesar Rp10.000.000,00 setiap hari selama 30 hari. Sebaliknya Pak Tamak memberikan uang kepada saya sebesar Rp1,00 pada hari pertama, Rp2,00 pada hari kedua, Rp4,00 pada hari ketiga, Rp8,00 pada hari keempat. Jadi banyaknya uang yang diberikan ke saya sebanyak dua kali lipat uang yang diberikan pada hari sebelumnya. Demikian seterusnya sampai hari ke tigapuluh. Apakah Bapak setuju?”. Tanpa berpikir panjang pak Tamak menyetujui tawaran Pak Cerdik. Pikirnya,“Tidaklah sukar untuk memberikan uang sebesar Rp1,00, Rp2,00, Rp4,00 dan seterusnya. Saya akan mendapatkan banyak untung”. Jelaskan siapakah yang menerima uang lebih banyak pada akhir hari ke tigapuluh?
Jawab:
Yang akan menerima uang paling banyak di hari ketiga puluh yaitu Saya. karena uang yang diperoleh hanya 300.000.000 Sedangkan saya memperoleh uang 1.073.741.823 Cara menghitungnya dengan rumus jumlah deret geometri. Sn = a( r pangkat n kemudian dikurangi 1 ) per r - 1 Sn = 1 ( 2 pangkat 30 dikurangi 1 ) Per 2-1 Jadi Sn= 1.073.741.824 - 1 yaitu 1.073.741.823 rupiah Lebih banyak dari 300.000.000
_________________________________